昇格

建築一乙的每一位同學： 你們即將面臨進雄工之後的第一次定期考，希望大家能嚴肅地看待並好好準備，好的開始會是成功的一半。我想所謂「好的開始」不只是指成績的好壞，也是面對考驗時的好習慣好心態。 在整理自己的文具用品、座位的同時，讓自己的心靈歸於平靜，因為你已備妥武器舉手可得，不會有後顧之憂。養成這種習慣才是真正好的開始，因為它讓你之後每一次應戰都能避免不必要的失誤。 以下是考試期間要請大家配合的事項，每個人把自己準備好，就能營造良好的環境。 桌子反轉，將抽屜朝前。 手機放在書包裡並關閉聲音，不准帶在身上。 書包放置於教室前後方。 事先備妥所需文具，考試進行中不得交談或轉頭張望。 試題卷空白處可用以計算或打草稿，不得另外準備紙張。 提早就座安靜等待監考老師，考試開始後 30 分鐘才可交卷，一旦離座就要交卷不能回頭再寫，試題卷與答案卷都要交。 提早交卷請離開試場，安靜的在走廊準備下一科，不可喧鬧嬉戲。 考試結束鐘響時，請於座位上稍待監考老師清點試題卷及答案卷。 考試期間禁止打球，校園內保持寧靜。 如有違反試場規則，如使用手機、轉頭交談或其他可能影響考試公平的行為，皆依校規處置。

問題： 設於某項新實驗中，細菌數 1 日後增加 $a$ 倍，且已知 3 日後細菌數為 200000，$4\dfrac{1}{2}$ 日後細菌數為 1600000，請問：(1) $a = \underline{\quad 3 \quad}$ (2) $\dfrac{3}{2}$ 日後的細菌數為 $\underline{\quad 25000 \quad}$ 解： 假設原有 $k$ 個細菌數，則由題意可列式如下： $\begin{cases} k(a+1)^{3} = 200000 \\ k(a+1)^{\frac{9}{2}}=1600000 \end{cases}$。 兩式相除後可得 $(a+1)^{\frac{3}{2}} = 8 = 2^{3} = 4^{\frac{3}{2}}$，故 $a+1 = 4$，即 $a = 3$。 將 $a$ 代回第一式後可得 $k \times 4^{3} = 200000$，故 $k = 3125$。 $\dfrac{3}{2}$ 日後有 $k \times (a+1)^{\frac{3}{2}} = 3125 \times 4^{\frac{3}{2}} = 3125 \times 8 = 25000$ 個細菌。 後語： 解關於人口數、擴散速率、溫度變化、波的強度等題目時，依題意列式完後，常將兩式相除以消去初始狀態參數。例如在此題中將兩式相除即可消去 $k$，後續再解指數方程式 $(a+1)^{\frac{3}{2}} = 8$ 便會比較容易。 解指數方程式時，如果數字不大可藉由觀察法把數字湊出來；如果數字比較大時，則可借助對數運算。

問題：設 $\lvert x \rvert > 1$ 且 $\lvert y \rvert > 1$，證明 $\lvert 1+xy \rvert > \lvert x+y \rvert$。 想法：當 $\lvert 1+xy \rvert^{2} > \lvert x+y \rvert^{2}$ 時，則 $\lvert 1+xy \rvert > \lvert x+y \rvert$ 成立。 證明：由 $\lvert x \rvert > 1$ 且 $\lvert y \rvert > 1$ 可知 $x^{2} - 1 > 0$ 且 $y^{2} - 1 > 0$。 \begin{align*} \lvert 1+xy \rvert^{2} - \lvert x+y \rvert^{2} &= (1 + 2xy + x^{2}y^{2}) - (x^{2} + 2xy + y^{2}) \\ &= x^{2}y^{2} - x^{2} - y^{2} + 1 \\ &= (x^{2} - 1)(y^{2} - 1) > 0 \end{align*} 故 $\lvert 1+xy \rvert > \lvert x+y \rvert$。 後語： 欲證明不等式 $A>B$ 成立，常用的手法為證明 $A-B>0$，於此題改良為 $A^{2} - B^{2} > 0$。

利用 Google 日曆建立了一份本人任課班級的「 作業及考試行事曆 」，一方面是提醒自己，另一方面也可以讓同學查詢考試或是作業繳交時間，更方便的是可以新增到自己的 Google 帳號，再利用 Google 日曆的手機 App 或其他行事曆軟體就能隨時查看。 以下是如何新增到自己的 Google 日曆的步驟： 點選日曆右下角的「+Google 日曆」 登入自己的 Google 帳號 選擇要增加的行事曆，我也建立了一份高雄高工的學期行事曆，兩者搭配更能掌握學校事務，也可以擇一加入。

問題：一拋物線的頂點為 $V(2,1)$，焦點為 $F(6,5)$，試求拋物線的準線方程式。 答案：$x+y+5=0$ 解：假設準線與對稱軸的交點為 $A(\alpha,\beta)$，因為 $V$ 是 $\overline{AF}$ 的中點，故有 $(\dfrac{\alpha + 6}{2},\dfrac{\beta + 5}{2}) = (2,1)$，由前式可得 $A(\alpha,\beta)=A(-2,-3)$。 對稱軸 $\overleftrightarrow{VF}$ 的斜率為 $\dfrac{6-2}{5-1} = 1$，準線與對稱軸垂直，所以準線的斜率為 $-1$，又準線過 $A$ 點，因此準線方程式為 $y-(-3) = -1[x-(-2)]$，整理後可得準線方程式為 $x+y+5=0$。

問題：已知 $x + \dfrac{1}{x} = 1$，求 $x^{20} - x^{7}$ 之值。 答案：$-1$ 解法一： 由 $x + \dfrac{1}{x} = 1$ 可知 $x^{2} - x + 1 = 0$，而且由 $(x+1)(x^{2} - x + 1)=x^{3} + 1 = 0$ 可知 $x^{3} = -1$。 $x^{20} - x^{7} = \left( x^{3} \right)^{6} \times x^{2} - \left( x^{3} \right)^{2} \times x = x^{2} - x = -1$。 解法二： 將 $x + \dfrac{1}{x} = 1$ 化為 $x^{2} - x + 1 = 0$ 後可求得 $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$。 (1) 若 $x = \dfrac{1 + \sqrt{3}i}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3} + i \sin\dfrac{\pi}{3}$，由隸美弗定理可知： \begin{align*} x^{20} - x^{7} &= (\cos\dfrac{20\pi}{3} + i \sin\dfrac{20\pi}{3}) - (\cos\dfrac{7\pi}{3} + i \sin\dfrac{7\pi}{3})\\ &= (\cos\dfrac{2\pi}{3} + i \sin\dfrac{2\pi}{3}) - (\cos\dfrac{\pi}{3} + i \sin\dfrac{\pi}{3})\\ &= \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} - \dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}\\ &= -1 \end{align*} (2) 若 $x = \dfrac{1 - \sqrt{3}i}{2} = \cos(-\dfrac{\pi}{3}) + i \sin(-\dfrac{\pi}{3})$，由隸美弗定理可知： \begin{align*} x^{20} - x^{7} &= [\cos(-\dfrac{20\pi}{3}) +