昇格

問題：一拋物線的頂點為 $V(2,1)$，焦點為 $F(6,5)$，試求拋物線的準線方程式。 答案：$x+y+5=0$ 解：假設準線與對稱軸的交點為 $A(\alpha,\beta)$，因為 $V$ 是 $\overline{AF}$ 的中點，故有 $(\dfrac{\alpha + 6}{2},\dfrac{\beta + 5}{2}) = (2,1)$，由前式可得 $A(\alpha,\beta)=A(-2,-3)$。 對稱軸 $\overleftrightarrow{VF}$ 的斜率為 $\dfrac{6-2}{5-1} = 1$，準線與對稱軸垂直，所以準線的斜率為 $-1$，又準線過 $A$ 點，因此準線方程式為 $y-(-3) = -1[x-(-2)]$，整理後可得準線方程式為 $x+y+5=0$。

問題：已知 $x + \dfrac{1}{x} = 1$，求 $x^{20} - x^{7}$ 之值。 答案：$-1$ 解法一： 由 $x + \dfrac{1}{x} = 1$ 可知 $x^{2} - x + 1 = 0$，而且由 $(x+1)(x^{2} - x + 1)=x^{3} + 1 = 0$ 可知 $x^{3} = -1$。 $x^{20} - x^{7} = \left( x^{3} \right)^{6} \times x^{2} - \left( x^{3} \right)^{2} \times x = x^{2} - x = -1$。 解法二： 將 $x + \dfrac{1}{x} = 1$ 化為 $x^{2} - x + 1 = 0$ 後可求得 $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$。 (1) 若 $x = \dfrac{1 + \sqrt{3}i}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3} + i \sin\dfrac{\pi}{3}$，由隸美弗定理可知： \begin{align*} x^{20} - x^{7} &= (\cos\dfrac{20\pi}{3} + i \sin\dfrac{20\pi}{3}) - (\cos\dfrac{7\pi}{3} + i \sin\dfrac{7\pi}{3})\\ &= (\cos\dfrac{2\pi}{3} + i \sin\dfrac{2\pi}{3}) - (\cos\dfrac{\pi}{3} + i \sin\dfrac{\pi}{3})\\ &= \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} - \dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}\\ &= -1 \end{align*} (2) 若 $x = \dfrac{1 - \sqrt{3}i}{2} = \cos(-\dfrac{\pi}{3}) + i \sin(-\dfrac{\pi}{3})$，由隸美弗定理可知： \begin{align*} x^{20} - x^{7} &= [\cos(-\dfrac{20\pi}{3}) +