問題：△ $ABC$ 中，$\sin A : \sin B : \sin C = 1 : \sqrt{3} : 2$，則 $\sin A + \cos B + \sin C = \underline{2}$。 解：由正弦定理可知 $a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C = 1 : \sqrt{3} : 2$，所以 $\angle A = 30^{\circ}$、$\angle B = 60^{\circ}$、$\angle C = 90^{\circ}$，故 $\sin A + \cos B + \sin C = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + 1 = 2$。 問題：設 $A$、$B$、$C$ 為一圓之圓周上三點，若 $\overline{AB} = 4$，$\overline{BC} = 6$，$\overline{CA} = 8$，則該圓之面積為 $\underline{\dfrac{256\pi}{15}}$。 解：$s = \dfrac{a+b+c}{2} = 9$，△ $ABC$ 的面積為 $\dfrac{4 \times 6 \times 8}{4R} = \sqrt{9 \times (9-4) \times (9-6) \times (9-8)} = 3 \sqrt{15}$，故 $R = \dfrac{16}{\sqrt{15}}$，所以圓面積為 $\dfrac{256\pi}{15}$。 問題：已知 △ $ABC$ 中，若 $D$ 點在線段 $\overline{AC}$ 上，且線段 $\overline{BD} = 2$，$\overline{DC} = 1$，$\overline{AC} = 3$，令 $\angle BAD = \theta$，求 $\cos \theta = \underline{\dfrac{2}{\sqrt{5}}}$。 解：假設 $\angle DAC = \phi$，則 $\sin \phi = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$，$\cos \phi = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$ 且 $\theta = 45^{\circ} - \phi$，所以 $\begin{aligned} \cos \theta &