問題:已知 $x + \dfrac{1}{x} = 1$,求 $x^{20} - x^{7}$ 之值。
答案:$-1$
解法一:
由 $x + \dfrac{1}{x} = 1$ 可知 $x^{2} - x + 1 = 0$,而且由 $(x+1)(x^{2} - x + 1)=x^{3} + 1 = 0$ 可知 $x^{3} = -1$。
$x^{20} - x^{7} = \left( x^{3} \right)^{6} \times x^{2} - \left( x^{3} \right)^{2} \times x = x^{2} - x = -1$。
解法二:
將 $x + \dfrac{1}{x} = 1$ 化為 $x^{2} - x + 1 = 0$ 後可求得 $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$。
(1) 若 $x = \dfrac{1 + \sqrt{3}i}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3} + i \sin\dfrac{\pi}{3}$,由隸美弗定理可知: \begin{align*} x^{20} - x^{7} &= (\cos\dfrac{20\pi}{3} + i \sin\dfrac{20\pi}{3}) - (\cos\dfrac{7\pi}{3} + i \sin\dfrac{7\pi}{3})\\ &= (\cos\dfrac{2\pi}{3} + i \sin\dfrac{2\pi}{3}) - (\cos\dfrac{\pi}{3} + i \sin\dfrac{\pi}{3})\\ &= \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} - \dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}\\ &= -1 \end{align*}
(2) 若 $x = \dfrac{1 - \sqrt{3}i}{2} = \cos(-\dfrac{\pi}{3}) + i \sin(-\dfrac{\pi}{3})$,由隸美弗定理可知: \begin{align*} x^{20} - x^{7} &= [\cos(-\dfrac{20\pi}{3}) + i \sin(-\dfrac{20\pi}{3})] - [\cos(-\dfrac{7\pi}{3}) + i \sin(-\dfrac{7\pi}{3})]\\ &= [\cos(-\dfrac{2\pi}{3}) + i \sin(-\dfrac{2\pi}{3})] - [\cos(-\dfrac{\pi}{3}) + i \sin(-\dfrac{\pi}{3})]\\ &= \dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2} - \dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}\\ &= -1 \end{align*}
答案:$-1$
解法一:
由 $x + \dfrac{1}{x} = 1$ 可知 $x^{2} - x + 1 = 0$,而且由 $(x+1)(x^{2} - x + 1)=x^{3} + 1 = 0$ 可知 $x^{3} = -1$。
$x^{20} - x^{7} = \left( x^{3} \right)^{6} \times x^{2} - \left( x^{3} \right)^{2} \times x = x^{2} - x = -1$。
解法二:
將 $x + \dfrac{1}{x} = 1$ 化為 $x^{2} - x + 1 = 0$ 後可求得 $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$。
(1) 若 $x = \dfrac{1 + \sqrt{3}i}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3} + i \sin\dfrac{\pi}{3}$,由隸美弗定理可知: \begin{align*} x^{20} - x^{7} &= (\cos\dfrac{20\pi}{3} + i \sin\dfrac{20\pi}{3}) - (\cos\dfrac{7\pi}{3} + i \sin\dfrac{7\pi}{3})\\ &= (\cos\dfrac{2\pi}{3} + i \sin\dfrac{2\pi}{3}) - (\cos\dfrac{\pi}{3} + i \sin\dfrac{\pi}{3})\\ &= \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} - \dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}\\ &= -1 \end{align*}
(2) 若 $x = \dfrac{1 - \sqrt{3}i}{2} = \cos(-\dfrac{\pi}{3}) + i \sin(-\dfrac{\pi}{3})$,由隸美弗定理可知: \begin{align*} x^{20} - x^{7} &= [\cos(-\dfrac{20\pi}{3}) + i \sin(-\dfrac{20\pi}{3})] - [\cos(-\dfrac{7\pi}{3}) + i \sin(-\dfrac{7\pi}{3})]\\ &= [\cos(-\dfrac{2\pi}{3}) + i \sin(-\dfrac{2\pi}{3})] - [\cos(-\dfrac{\pi}{3}) + i \sin(-\dfrac{\pi}{3})]\\ &= \dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2} - \dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}\\ &= -1 \end{align*}
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