問題: 設於某項新實驗中,細菌數 1 日後增加 $a$ 倍,且已知 3 日後細菌數為 200000,$4\dfrac{1}{2}$ 日後細菌數為 1600000,請問:(1) $a = \underline{\quad 3 \quad}$ (2) $\dfrac{3}{2}$ 日後的細菌數為 $\underline{\quad 25000 \quad}$ 解: 假設原有 $k$ 個細菌數,則由題意可列式如下: $\begin{cases} k(a+1)^{3} = 200000 \\ k(a+1)^{\frac{9}{2}}=1600000 \end{cases}$。 兩式相除後可得 $(a+1)^{\frac{3}{2}} = 8 = 2^{3} = 4^{\frac{3}{2}}$,故 $a+1 = 4$,即 $a = 3$。 將 $a$ 代回第一式後可得 $k \times 4^{3} = 200000$,故 $k = 3125$。 $\dfrac{3}{2}$ 日後有 $k \times (a+1)^{\frac{3}{2}} = 3125 \times 4^{\frac{3}{2}} = 3125 \times 8 = 25000$ 個細菌。 後語: 解關於人口數、擴散速率、溫度變化、波的強度等題目時,依題意列式完後,常將兩式相除以消去初始狀態參數。例如在此題中將兩式相除即可消去 $k$,後續再解指數方程式 $(a+1)^{\frac{3}{2}} = 8$ 便會比較容易。 解指數方程式時,如果數字不大可藉由觀察法把數字湊出來;如果數字比較大時,則可借助對數運算。
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