昇格

問題： 設於某項新實驗中，細菌數 1 日後增加 $a$ 倍，且已知 3 日後細菌數為 200000，$4\dfrac{1}{2}$ 日後細菌數為 1600000，請問：(1) $a = \underline{\quad 3 \quad}$ (2) $\dfrac{3}{2}$ 日後的細菌數為 $\underline{\quad 25000 \quad}$ 解： 假設原有 $k$ 個細菌數，則由題意可列式如下： $\begin{cases} k(a+1)^{3} = 200000 \\ k(a+1)^{\frac{9}{2}}=1600000 \end{cases}$。 兩式相除後可得 $(a+1)^{\frac{3}{2}} = 8 = 2^{3} = 4^{\frac{3}{2}}$，故 $a+1 = 4$，即 $a = 3$。 將 $a$ 代回第一式後可得 $k \times 4^{3} = 200000$，故 $k = 3125$。 $\dfrac{3}{2}$ 日後有 $k \times (a+1)^{\frac{3}{2}} = 3125 \times 4^{\frac{3}{2}} = 3125 \times 8 = 25000$ 個細菌。 後語： 解關於人口數、擴散速率、溫度變化、波的強度等題目時，依題意列式完後，常將兩式相除以消去初始狀態參數。例如在此題中將兩式相除即可消去 $k$，後續再解指數方程式 $(a+1)^{\frac{3}{2}} = 8$ 便會比較容易。 解指數方程式時，如果數字不大可藉由觀察法把數字湊出來；如果數字比較大時，則可借助對數運算。

問題：設 $\lvert x \rvert > 1$ 且 $\lvert y \rvert > 1$，證明 $\lvert 1+xy \rvert > \lvert x+y \rvert$。 想法：當 $\lvert 1+xy \rvert^{2} > \lvert x+y \rvert^{2}$ 時，則 $\lvert 1+xy \rvert > \lvert x+y \rvert$ 成立。 證明：由 $\lvert x \rvert > 1$ 且 $\lvert y \rvert > 1$ 可知 $x^{2} - 1 > 0$ 且 $y^{2} - 1 > 0$。 \begin{align*} \lvert 1+xy \rvert^{2} - \lvert x+y \rvert^{2} &= (1 + 2xy + x^{2}y^{2}) - (x^{2} + 2xy + y^{2}) \\ &= x^{2}y^{2} - x^{2} - y^{2} + 1 \\ &= (x^{2} - 1)(y^{2} - 1) > 0 \end{align*} 故 $\lvert 1+xy \rvert > \lvert x+y \rvert$。 後語： 欲證明不等式 $A>B$ 成立，常用的手法為證明 $A-B>0$，於此題改良為 $A^{2} - B^{2} > 0$。