問題:設 $\lvert x \rvert > 1$ 且 $\lvert y \rvert > 1$,證明 $\lvert 1+xy \rvert > \lvert x+y \rvert$。
想法:當 $\lvert 1+xy \rvert^{2} > \lvert x+y \rvert^{2}$ 時,則 $\lvert 1+xy \rvert > \lvert x+y \rvert$ 成立。
證明:由 $\lvert x \rvert > 1$ 且 $\lvert y \rvert > 1$ 可知 $x^{2} - 1 > 0$ 且 $y^{2} - 1 > 0$。
\begin{align*} \lvert 1+xy \rvert^{2} - \lvert x+y \rvert^{2} &= (1 + 2xy + x^{2}y^{2}) - (x^{2} + 2xy + y^{2}) \\ &= x^{2}y^{2} - x^{2} - y^{2} + 1 \\ &= (x^{2} - 1)(y^{2} - 1) > 0 \end{align*} 故 $\lvert 1+xy \rvert > \lvert x+y \rvert$。
後語:
欲證明不等式 $A>B$ 成立,常用的手法為證明 $A-B>0$,於此題改良為 $A^{2} - B^{2} > 0$。
想法:當 $\lvert 1+xy \rvert^{2} > \lvert x+y \rvert^{2}$ 時,則 $\lvert 1+xy \rvert > \lvert x+y \rvert$ 成立。
證明:由 $\lvert x \rvert > 1$ 且 $\lvert y \rvert > 1$ 可知 $x^{2} - 1 > 0$ 且 $y^{2} - 1 > 0$。
\begin{align*} \lvert 1+xy \rvert^{2} - \lvert x+y \rvert^{2} &= (1 + 2xy + x^{2}y^{2}) - (x^{2} + 2xy + y^{2}) \\ &= x^{2}y^{2} - x^{2} - y^{2} + 1 \\ &= (x^{2} - 1)(y^{2} - 1) > 0 \end{align*} 故 $\lvert 1+xy \rvert > \lvert x+y \rvert$。
後語:
欲證明不等式 $A>B$ 成立,常用的手法為證明 $A-B>0$,於此題改良為 $A^{2} - B^{2} > 0$。
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